3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の増減表を作成し、グラフを描き、極値を求める問題です。

1. 問題の内容

3次関数 $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の増減表を作成し、グラフを描き、極値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 導関数を求める

与えられた関数 $y$ を $x$ で微分して導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 3x^2 - 6x - 9$

(2) 導関数が0になる点を求める

$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

したがって、$x = 3, -1$ が導関数が0になる点です。

(3) 増減表を作成する

$x = -1$ と $x = 3$ を境にして $x$ の範囲を分割し、$y'$ の符号を調べます。

- $x < -1$ のとき、$y' > 0$ (例: $x=-2$ のとき $y'=3(-2)^2-6(-2)-9=12+12-9=15 > 0$)

- $-1 < x < 3$ のとき、$y' < 0$ (例: $x=0$ のとき $y'=-9 < 0$)

- $x > 3$ のとき、$y' > 0$ (例: $x=4$ のとき $y'=3(4)^2-6(4)-9=48-24-9=15 > 0$)

増減表は以下のようになります。

| x | ... | -1 | ... | 3 | ... |

| --- | --- | -- | --- | -- | --- |

| y' | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↗ | 極大 | ↘ | 極小 | ↗ |

(4) 極値を求める

$x = -1$ のとき、$y = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 5 = -1 - 3 + 9 + 5 = 10$ (極大値)

$x = 3$ のとき、$y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 5 = 27 - 27 - 27 + 5 = -22$ (極小値)

(5) グラフを描く

増減表の情報をもとにグラフを描きます。極大値 $(-1, 10)$、極小値 $(3, -22)$ を通るように滑らかな曲線を描きます。

3. 最終的な答え

極大値: $x = -1$ で $y = 10$

極小値: $x = 3$ で $y = -22$