与えられた問題は、極限の計算、関数の微分、連続性の判定など、微分積分の基礎的な内容を問うものです。具体的には、以下の問題が含まれています。 1. 極限の計算（2問）

1. 問題の内容

与えられた問題は、極限の計算、関数の微分、連続性の判定など、微分積分の基礎的な内容を問うものです。具体的には、以下の問題が含まれています。

1. 極限の計算（2問）

2. 関数の極限計算（場合分けあり）

3. 極限の計算（三角関数を含む）

4. 関数の微分（2問）

5. 関数の微分（2問）

6. 関数の微分（逆関数を含む）

7. 関数の連続性の判定（パラメータを含む）

8. 関数の連続性、微分可能性の判定（場合分けされた関数）

9. 関数の滑らかさの証明

2. 解き方の手順

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1. 極限の計算**

(1) $\lim_{x \to 3} \frac{x}{(x-3)^2}$

$x$ が3に近づくとき、分子は3に近づき、分母は0に近づきます。$(x-3)^2$は常に正なので、$x \to 3$ で $(x-3)^2 \to 0^+$となり、$\frac{x}{(x-3)^2} \to \infty$となります。

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 + 5x}{2x^2}$

分子と分母を$x^2$で割ると、$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2}$となります。$x \to \infty$のとき$\frac{5}{x} \to 0$なので、$\lim_{x \to \infty} \frac{4x + \frac{5}{x}}{2} = \lim_{x \to \infty} 2x = \infty$となります。

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2. 関数の極限計算**

$f(x) = \frac{|x-2|(x-3)}{x-2}$

$x \to 2+0$ のとき、$x-2 > 0$ なので $|x-2| = x-2$。よって、$f(x) = \frac{(x-2)(x-3)}{x-2} = x-3$。したがって、$\lim_{x \to 2+0} f(x) = 2-3 = -1$。

$x \to 2-0$ のとき、$x-2 < 0$ なので $|x-2| = -(x-2)$。よって、$f(x) = \frac{-(x-2)(x-3)}{x-2} = -(x-3) = 3-x$。したがって、$\lim_{x \to 2-0} f(x) = 3-2 = 1$。

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3. 極限の計算（三角関数を含む）**

$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \tan(\frac{1}{x})$

$\tan(\frac{1}{x}) = \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})}$なので、$\lim_{x \to 0} x \cos(\frac{1}{x}) \frac{\sin(\frac{1}{x})}{\cos(\frac{1}{x})} = \lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x})$。

$-1 \le \sin(\frac{1}{x}) \le 1$なので、$-|x| \le x \sin(\frac{1}{x}) \le |x|$。$x \to 0$のとき、$|x| \to 0$なので、$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$。

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4. 関数の微分**

(1) $y = x^2 \sin x$

積の微分法より、$y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$。

(2) $y = \frac{x^3}{e^x}$

商の微分法より、$y' = \frac{3x^2 e^x - x^3 e^x}{(e^x)^2} = \frac{3x^2 - x^3}{e^x}$。

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5. 関数の微分**

(1) $y = (x^2 + 1)^{100}$

合成関数の微分法より、$y' = 100(x^2+1)^{99} \cdot 2x = 200x(x^2+1)^{99}$。

(2) $y = x - \log(x^2 + 2x)$

$y' = 1 - \frac{2x+2}{x^2+2x} = 1 - \frac{2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x(x+2) - 2(x+1)}{x(x+2)} = \frac{x^2 + 2x - 2x - 2}{x(x+2)} = \frac{x^2-2}{x(x+2)}$。

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6. 関数の微分（逆関数を含む）**

$y = \arctan(2x)$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{1+(2x)^2} \cdot 2 = \frac{2}{1+4x^2}$。

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7. 関数の連続性の判定**

$f(x) = \frac{x^2 + a}{x+1}$ ($x \ne -1$)

(1) $f(x)$ が $x=-1$ で連続であるためには、$\lim_{x \to -1} f(x)$ が存在し、$f(-1)$ と一致する必要があります。

$\lim_{x \to -1} \frac{x^2 + a}{x+1}$ が存在するためには、$x=-1$ で分子が0になる必要があります。つまり、$(-1)^2 + a = 0$。よって、$a = -1$。

(2) $a=-1$のとき、$f(x) = \frac{x^2-1}{x+1} = \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = x-1$ ($x \ne -1$)。

したがって、$f(-1) = -1 - 1 = -2$とすれば、$f(x)$は連続関数になります。

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8. 関数の連続性、微分可能性の判定**

$f(x) = \begin{cases} 3x^2 & x \ne 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases}$

(1) $\lim_{x \to 0} 3x^2 = 0$。また、$f(0) = 0$なので、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。よって、$f(x)$は$x=0$で連続です。

(2) $\lim_{h \to +0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to +0} \frac{3h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to +0} 3h = 0$。

$\lim_{h \to -0} \frac{f(0+h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to -0} \frac{3h^2 - 0}{h} = \lim_{h \to -0} 3h = 0$。

左右の極限が一致するので、$f'(0) = 0$。よって、$f(x)$は$x=0$で微分可能です。

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9. 関数の滑らかさの証明**

$f(x) = -\sin x$ が $C^\infty$ 級関数であることを示す。

$f'(x) = -\cos x$

$f''(x) = \sin x$

$f'''(x) = \cos x$

$f^{(4)}(x) = -\sin x$

このように、$f(x)$ の導関数は$-\sin x$, $-\cos x$, $\sin x$, $\cos x$ のいずれかであり、これらは全て連続関数です。したがって、$f(x)$ は無限回微分可能であり、$C^\infty$ 級関数です。

3. 最終的な答え

1. (1) $\infty$ (2) $\infty$

2. $\lim_{x \to 2+0} f(x) = -1$, $\lim_{x \to 2-0} f(x) = 1$

3. 0

4. (1) $2x \sin x + x^2 \cos x$ (2) $\frac{3x^2 - x^3}{e^x}$

5. (1) $200x(x^2+1)^{99}$ (2) $\frac{x^2-2}{x(x+2)}$

6. $\frac{2}{1+4x^2}$

7. (1) $a=-1$ (2) $f(-1) = -2$

8. (1) 連続、左極限と右極限はともに0 (2) 微分可能、微分係数は0

9. $-\sin x$ は $C^\infty$ 級関数である（証明は上記参照）