与えられた14個の極限の値を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$ (2) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$ (3) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$ (4) $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ (5) $\lim_{x\to +0} \frac{|x|}{x}$ (6) $\lim_{x\to -0} \frac{|x|}{x}$ (7) $\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$ (8) $\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$ (9) $\lim_{x\to -1} \frac{x^2 + x}{x + 1}$ (10) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ (11) $\lim_{x\to 0} \frac{x^3 + 2x^2}{2x^4 - 3x^2}$ (12) $\lim_{x\to \infty} \frac{2x + 3}{x^2 - 3}$ (13) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 + x + 1}$ (14) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

1. 問題の内容

与えられた14個の極限の値を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$

(3) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

(5) $\lim_{x\to +0} \frac{|x|}{x}$

(6) $\lim_{x\to -0} \frac{|x|}{x}$

(7) $\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$

(8) $\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

(9) $\lim_{x\to -1} \frac{x^2 + x}{x + 1}$

(10) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

(11) $\lim_{x\to 0} \frac{x^3 + 2x^2}{2x^4 - 3x^2}$

(12) $\lim_{x\to \infty} \frac{2x + 3}{x^2 - 3}$

(13) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 + x + 1}$

(14) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x\to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$

分子、分母をそれぞれ因数分解します。

$2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2)$

$3x^2 - 2x - 8 = (3x + 4)(x - 2)$

$\lim_{x\to 2} \frac{(2x + 3)(x - 2)}{(3x + 4)(x - 2)} = \lim_{x\to 2} \frac{2x + 3}{3x + 4} = \frac{2(2) + 3}{3(2) + 4} = \frac{7}{10}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$

分子、分母を$x^3$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6}{x} + 1}{\frac{2}{x^3} - 5} = \frac{0 - 0 + 1}{0 - 5} = -\frac{1}{5}$

(3) $\lim_{x\to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1)$

$\sqrt{x^2 + 2x - 3} - x + 1 = (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x-1)) = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x-1))(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x-1))}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x-1)} = \frac{(x^2 + 2x - 3) - (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1} = \frac{4x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + x - 1}$

分子、分母を$x$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{2} = 2$

(4) $\lim_{x\to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1$

$\lim_{x\to 1} \sqrt{x} + 1 = \sqrt{1} + 1 = 1 + 1 = 2$

(5) $\lim_{x\to +0} \frac{|x|}{x}$

$x$が正の方向から0に近づくので、$|x| = x$

$\lim_{x\to +0} \frac{x}{x} = 1$

(6) $\lim_{x\to -0} \frac{|x|}{x}$

$x$が負の方向から0に近づくので、$|x| = -x$

$\lim_{x\to -0} \frac{-x}{x} = -1$

(7) $\lim_{x\to 0} \frac{|x|}{x}$

右極限と左極限が異なるので、極限は存在しません。

(8) $\lim_{x\to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2}$

$x^3 - 8 = (x-2)(x^2 + 2x + 4)$

$\lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x^2 + 2x + 4)}{x-2} = \lim_{x\to 2} x^2 + 2x + 4 = 2^2 + 2(2) + 4 = 4 + 4 + 4 = 12$

(9) $\lim_{x\to -1} \frac{x^2 + x}{x + 1}$

$\frac{x^2 + x}{x + 1} = \frac{x(x+1)}{x+1} = x$

$\lim_{x\to -1} x = -1$

(10) $\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2}$

$\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2$

$\lim_{x\to 2} x + 2 = 2 + 2 = 4$

(11) $\lim_{x\to 0} \frac{x^3 + 2x^2}{2x^4 - 3x^2}$

$\frac{x^3 + 2x^2}{2x^4 - 3x^2} = \frac{x^2(x + 2)}{x^2(2x^2 - 3)} = \frac{x + 2}{2x^2 - 3}$

$\lim_{x\to 0} \frac{x + 2}{2x^2 - 3} = \frac{0 + 2}{2(0)^2 - 3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3}$

(12) $\lim_{x\to \infty} \frac{2x + 3}{x^2 - 3}$

分子、分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}{1 - \frac{3}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 - 0} = \frac{0}{1} = 0$

(13) $\lim_{x\to \infty} \frac{3x^2 + 1}{2x^2 + x + 1}$

分子、分母を$x^2$で割ります。

$\lim_{x\to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x^2}}{2 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = \frac{3 + 0}{2 + 0 + 0} = \frac{3}{2}$

(14) $\lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}$

分子、分母に$\sqrt{1+x} + 1$を掛けます。

$\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(\sqrt{1+x} - 1)(\sqrt{1+x} + 1)}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{(1+x) - 1}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{x}{x(\sqrt{1+x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1}$

$\lim_{x\to 0} \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1+0} + 1} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{10}$

(2) $-\frac{1}{5}$

(3) $2$

(4) $2$

(5) $1$

(6) $-1$

(7) 存在しない

(8) $12$

(9) $-1$

(10) $4$

(11) $-\frac{2}{3}$

(12) $0$

(13) $\frac{3}{2}$

(14) $\frac{1}{2}$