4次関数 $y=f(x)$ のグラフの変曲点が $(-1, -8)$ と $(1, 10)$ である。点 $(1, 10)$ における接線の傾きが $1$ であるとき、関数 $f(x)$ を求めよ。

1. 問題の内容

4次関数 $y=f(x)$ のグラフの変曲点が $(-1, -8)$ と $(1, 10)$ である。点 $(1, 10)$ における接線の傾きが $1$ であるとき、関数 $f(x)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$f(x)$ は4次関数なので、

$f(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e$

とおける。

$f'(x) = 4ax^3 + 3bx^2 + 2cx + d$

$f''(x) = 12ax^2 + 6bx + 2c$

変曲点は $f''(x) = 0$ となる点なので、 $f''(-1) = 0$ と $f''(1) = 0$ が成り立つ。

$f''(-1) = 12a - 6b + 2c = 0$

$f''(1) = 12a + 6b + 2c = 0$

これらの式を足し合わせると、 $24a + 4c = 0$ となるので、

$c = -6a$

$f''(-1) = 12a - 6b + 2c = 12a - 6b - 12a = 0$

より、 $-6b = 0$ なので、

$b = 0$

また、$f(1) = 10$、$f(-1) = -8$、$f'(1) = 1$ が成り立つ。

$f(1) = a + b + c + d + e = a + 0 - 6a + d + e = -5a + d + e = 10$

$f(-1) = a - b + c - d + e = a - 0 - 6a - d + e = -5a - d + e = -8$

$f'(1) = 4a + 3b + 2c + d = 4a + 0 - 12a + d = -8a + d = 1$

$-5a + d + e = 10$ と $-5a - d + e = -8$ を足し合わせると、 $-10a + 2e = 2$ となるので、

$e = 5a + 1$

$-5a + d + e = 10$ に $e = 5a + 1$ を代入すると、 $-5a + d + 5a + 1 = 10$ より、

$d = 9$

$-8a + d = 1$ に $d = 9$ を代入すると、 $-8a + 9 = 1$ より、

$a = 1$

$c = -6a = -6$

$e = 5a + 1 = 6$

よって、$f(x) = x^4 - 6x^2 + 9x + 6$

3. 最終的な答え

$f(x) = x^4 - 6x^2 + 9x + 6$