与えられた定積分の値を求めます。積分は以下の通りです。 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。積分は以下の通りです。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$

2. 解き方の手順

まず、与えられた積分を $I$ とおきます。

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$

ここで、$x$ を $\frac{\pi}{2} - x$ で置き換えることを考えます。$\sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x$ および $\cos(\frac{\pi}{2} - x) = \sin x$ であることに注意すると、

$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1 + \cos x + \sin x} dx$

この２つの式を足し合わせると、

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x + \cos x}{1 + \sin x + \cos x} dx$

さらに、被積分関数に $1$ を加えて引くと、

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1 + \sin x + \cos x - 1}{1 + \sin x + \cos x} dx$

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 - \frac{1}{1 + \sin x + \cos x}) dx$

$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} dx$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 dx = [x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2}$

ここで、$t = \tan(\frac{x}{2})$ とおくと、$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$, $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$, $dx = \frac{2}{1+t^2} dt$ となります。

$x=0$ のとき $t=0$ で、$x = \frac{\pi}{2}$ のとき $t = 1$ です。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \sin x + \cos x} dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + \frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2}} \frac{2}{1+t^2} dt$

$= \int_{0}^{1} \frac{2}{1+t^2 + 2t + 1 - t^2} dt = \int_{0}^{1} \frac{2}{2+2t} dt = \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t} dt$

$= [\ln(1+t)]_{0}^{1} = \ln(2) - \ln(1) = \ln 2$

したがって、

$2I = \frac{\pi}{2} - \ln 2$

$I = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \ln 2$