与えられた定積分を計算する問題です。積分は $\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx + \int_{-1}^{1} (2x^2 + 3) dx$ です。

1. 問題の内容

与えられた定積分を計算する問題です。積分は $\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx + \int_{-1}^{1} (2x^2 + 3) dx$ です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分を計算します。

$\int (2x^2 + 3) dx = 2 \int x^2 dx + 3 \int dx = 2 \cdot \frac{x^3}{3} + 3x + C = \frac{2}{3}x^3 + 3x + C$

次に、与えられた定積分を計算します。

$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_{-3}^{-1} = \left( \frac{2}{3}(-1)^3 + 3(-1) \right) - \left( \frac{2}{3}(-3)^3 + 3(-3) \right)$

$= \left( -\frac{2}{3} - 3 \right) - \left( \frac{2}{3}(-27) - 9 \right) = -\frac{2}{3} - 3 - (-18 - 9) = -\frac{2}{3} - 3 + 27 = 24 - \frac{2}{3} = \frac{72 - 2}{3} = \frac{70}{3}$

$\int_{-1}^{1} (2x^2 + 3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_{-1}^{1} = \left( \frac{2}{3}(1)^3 + 3(1) \right) - \left( \frac{2}{3}(-1)^3 + 3(-1) \right)$

$= \left( \frac{2}{3} + 3 \right) - \left( -\frac{2}{3} - 3 \right) = \frac{2}{3} + 3 + \frac{2}{3} + 3 = \frac{4}{3} + 6 = \frac{4+18}{3} = \frac{22}{3}$

したがって、

$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx + \int_{-1}^{1} (2x^2 + 3) dx = \frac{70}{3} + \frac{22}{3} = \frac{92}{3}$

あるいは、積分の性質から

$\int_{-3}^{-1} (2x^2 + 3) dx + \int_{-1}^{1} (2x^2 + 3) dx = \int_{-3}^{1} (2x^2 + 3) dx = \left[ \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_{-3}^{1}$

$= \left( \frac{2}{3}(1)^3 + 3(1) \right) - \left( \frac{2}{3}(-3)^3 + 3(-3) \right) = \frac{2}{3} + 3 - (-18 - 9) = \frac{2}{3} + 3 + 27 = 30 + \frac{2}{3} = \frac{90 + 2}{3} = \frac{92}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{92}{3}$