与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $S = 1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}$ の和を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$S$ に $x$ を掛けて $xS$ を計算します。

$xS = x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n}$

次に、$S$ から $xS$ を引きます。

$S - xS = (1 + 4x + 7x^2 + 10x^3 + \dots + (3n-2)x^{n-1}) - (x + 4x^2 + 7x^3 + 10x^4 + \dots + (3n-2)x^{n})$

$S(1-x) = 1 + (4x-x) + (7x^2 - 4x^2) + (10x^3 - 7x^3) + \dots + ((3n-2)x^{n-1} - (3n-5)x^{n-1}) - (3n-2)x^{n}$

$S(1-x) = 1 + 3x + 3x^2 + 3x^3 + \dots + 3x^{n-1} - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = 1 + 3(x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}) - (3n-2)x^n$

ここで、$x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1}$ は初項 $x$, 公比 $x$, 項数 $n-1$ の等比数列の和であるので、

$x + x^2 + x^3 + \dots + x^{n-1} = \frac{x(1-x^{n-1})}{1-x}$

これを $S(1-x)$ の式に代入します。

$S(1-x) = 1 + 3\frac{x(1-x^{n-1})}{1-x} - (3n-2)x^n$

$S(1-x) = \frac{(1-x) + 3x(1-x^{n-1}) - (3n-2)x^n(1-x)}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1 - x + 3x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1 + 2x - 3x^n - (3n-2)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

$S(1-x) = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{1-x}$

したがって、$S$ は

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$

3. 最終的な答え

$S = \frac{1 + 2x - (3n+1)x^n + (3n-2)x^{n+1}}{(1-x)^2}$