放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

放物線 $y=x^2$ と直線 $y=4x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、放物線と直線の交点を求めます。

$x^2 = 4x$ を解くと、

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

よって、$x = 0$ または $x = 4$ です。

交点の $x$ 座標は $0$ と $4$ であることがわかりました。

次に、積分を使って面積を計算します。$0 \le x \le 4$ の範囲では $4x \ge x^2$ なので、面積 $S$ は以下の積分で表されます。

$S = \int_{0}^{4} (4x - x^2) \, dx$

積分を計算します。

$\int (4x - x^2) \, dx = 2x^2 - \frac{1}{3}x^3 + C$

定積分を計算します。

$S = \left[2x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{4} = \left(2(4)^2 - \frac{1}{3}(4)^3\right) - \left(2(0)^2 - \frac{1}{3}(0)^3\right)$

$S = 2(16) - \frac{1}{3}(64) = 32 - \frac{64}{3} = \frac{96 - 64}{3} = \frac{32}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{32}{3}$