定積分 $\int_{-2}^{2} (x-2)^2 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^{2} (x-2)^2 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数 $(x-2)^2$ を展開します。

$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$

次に、この関数を積分します。

$\int (x^2 - 4x + 4) dx = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x + C$

定積分を計算するために、積分の上限と下限を代入して差を計算します。

$\left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 4x \right]_{-2}^{2} = \left( \frac{2^3}{3} - 2(2^2) + 4(2) \right) - \left( \frac{(-2)^3}{3} - 2((-2)^2) + 4(-2) \right)$

$= \left( \frac{8}{3} - 8 + 8 \right) - \left( \frac{-8}{3} - 8 - 8 \right)$

$= \frac{8}{3} - \left( -\frac{8}{3} - 16 \right)$

$= \frac{8}{3} + \frac{8}{3} + 16$

$= \frac{16}{3} + 16$

$= \frac{16}{3} + \frac{48}{3}$

$= \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$