$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を倍角の公式を用いて求める問題です。

1. 問題の内容

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ の値を倍角の公式を用いて求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{\pi}{12}$を $\frac{\pi}{6}$の半分であると捉え、半角の公式を利用します。

半角の公式は、以下の通りです。

$\sin^2{\frac{\theta}{2}} = \frac{1 - \cos{\theta}}{2}$

この公式に $\theta = \frac{\pi}{6}$ を代入すると、

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 - \cos{\frac{\pi}{6}}}{2}$

$\cos{\frac{\pi}{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ なので、

$\sin^2{\frac{\pi}{12}} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4}$

$\sin{\frac{\pi}{12}}$ は正の値なので、平方根をとると

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

ここで、$\sqrt{2 - \sqrt{3}}$ を簡単にします。

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{4 - 2\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} - 1)^2}{2}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

3. 最終的な答え

$\sin{\frac{\pi}{12}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$