与えられた積分 $\int x(3x-1) dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x(3x-1) dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$x(3x-1) = 3x^2 - x$

次に、積分を計算します。積分は線形性を持つので、

$\int (3x^2 - x) dx = \int 3x^2 dx - \int x dx$

それぞれの項を積分します。$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を用います。

$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = x^3 + C_1$

$\int x dx = \frac{x^2}{2} + C_2$

したがって、

$\int (3x^2 - x) dx = x^3 - \frac{x^2}{2} + C$

ただし、$C = C_1 - C_2$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$x^3 - \frac{x^2}{2} + C$