与えられた定積分の計算問題を解きます。 $\int_{0}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{2} (x-1)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の計算問題を解きます。

$\int_{0}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{2} (x-1)^2 dx$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分を計算します。

$\int (x+1)^2 dx = \int (x^2 + 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x^2 + x + C_1$

$\int (x-1)^2 dx = \int (x^2 - 2x + 1) dx = \frac{x^3}{3} - x^2 + x + C_2$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{2} (x+1)^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} + 2^2 + 2) - (\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0) = \frac{8}{3} + 4 + 2 = \frac{8}{3} + 6 = \frac{8+18}{3} = \frac{26}{3}$

$\int_{0}^{2} (x-1)^2 dx = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + x \right]_{0}^{2} = (\frac{2^3}{3} - 2^2 + 2) - (\frac{0^3}{3} - 0^2 + 0) = \frac{8}{3} - 4 + 2 = \frac{8}{3} - 2 = \frac{8-6}{3} = \frac{2}{3}$

最後に、それぞれの定積分の結果を足し合わせます。

$\int_{0}^{2} (x+1)^2 dx + \int_{0}^{2} (x-1)^2 dx = \frac{26}{3} + \frac{2}{3} = \frac{28}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{28}{3}$