2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と $y = -x^2 + 2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と $y = -x^2 + 2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、2つの放物線の交点を求めます。2つの式を連立させて $x$ について解きます。

$x^2 - 4x + 2 = -x^2 + 2x - 2$

$2x^2 - 6x + 4 = 0$

$x^2 - 3x + 2 = 0$

$(x - 1)(x - 2) = 0$

よって、交点の $x$ 座標は $x = 1$ と $x = 2$ です。

次に、区間 $[1, 2]$ でどちらの関数が大きいかを確認します。$x = 1.5$ を代入すると、

$y = (1.5)^2 - 4(1.5) + 2 = 2.25 - 6 + 2 = -1.75$

$y = -(1.5)^2 + 2(1.5) - 2 = -2.25 + 3 - 2 = -1.25$

よって、区間 $[1, 2]$ では $y = -x^2 + 2x - 2$ の方が大きいです。

したがって、面積 $S$ は次の定積分で計算できます。

$S = \int_1^2 [(-x^2 + 2x - 2) - (x^2 - 4x + 2)] dx$

$S = \int_1^2 (-2x^2 + 6x - 4) dx$

定積分を計算します。

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 - 4x\right]_1^2$

$S = \left(-\frac{2}{3}(2)^3 + 3(2)^2 - 4(2)\right) - \left(-\frac{2}{3}(1)^3 + 3(1)^2 - 4(1)\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 12 - 8\right) - \left(-\frac{2}{3} + 3 - 4\right)$

$S = \left(-\frac{16}{3} + 4\right) - \left(-\frac{2}{3} - 1\right)$

$S = -\frac{16}{3} + 4 + \frac{2}{3} + 1$

$S = -\frac{14}{3} + 5$

$S = -\frac{14}{3} + \frac{15}{3}$

$S = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{3}$