定数 $a$ が与えられたとき、曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を求めよ。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、曲線 $y = (x^2 + 2x + a)e^x$ の変曲点の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

変曲点を求めるには、2階微分を計算し、それがゼロになる点を調べます。

ステップ1：$y$ を $x$ で微分して、$y'$ を求めます。

$y = (x^2 + 2x + a)e^x$ を積の微分法を使って微分します。

$y' = (2x + 2)e^x + (x^2 + 2x + a)e^x = (x^2 + 4x + a + 2)e^x$

ステップ2：$y'$ を $x$ で微分して、$y''$ を求めます。

$y' = (x^2 + 4x + a + 2)e^x$ を積の微分法を使って微分します。

$y'' = (2x + 4)e^x + (x^2 + 4x + a + 2)e^x = (x^2 + 6x + a + 6)e^x$

ステップ3：変曲点を求めるために、$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$y'' = (x^2 + 6x + a + 6)e^x = 0$

$e^x$ は常に正なので、$x^2 + 6x + a + 6 = 0$ となる $x$ を求めればよいです。

$x^2 + 6x + a + 6 = 0$

ステップ4：二次方程式 $x^2 + 6x + a + 6 = 0$ の判別式を調べます。

判別式を $D$ とすると、$D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(a + 6) = 36 - 4a - 24 = 12 - 4a$

ステップ5：判別式 $D$ の符号によって変曲点の個数が変わります。

- $D > 0$ のとき、すなわち $12 - 4a > 0$ つまり $a < 3$ のとき、二次方程式は2つの実数解を持ち、変曲点は2個です。

- $D = 0$ のとき、すなわち $12 - 4a = 0$ つまり $a = 3$ のとき、二次方程式は1つの実数解を持ち（重解）、変曲点は1個です。

- $D < 0$ のとき、すなわち $12 - 4a < 0$ つまり $a > 3$ のとき、二次方程式は実数解を持たず、変曲点は0個です。

3. 最終的な答え

- $a < 3$ のとき、変曲点は2個

- $a = 3$ のとき、変曲点は1個

- $a > 3$ のとき、変曲点は0個