以下の3つの関数を微分する問題です。ただし、$a$ は正の定数、$A$ は定数とします。 (1) $y = \log(x^2 + 1)$ (2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$ (3) $y = \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$

1. 問題の内容

以下の3つの関数を微分する問題です。ただし、$a$ は正の定数、$A$ は定数とします。

(1) $y = \log(x^2 + 1)$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$

(3) $y = \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(x^2 + 1)$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$\log u$ の微分は $\frac{1}{u}$ 、$x^2+1$ の微分は $2x$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$ の微分

これも合成関数の微分公式を使います。$\log u$ の微分は $\frac{1}{u}$ 、$\sqrt{x}+1$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $y = \log |x + \sqrt{x^2 + A}|$ の微分

これも合成関数の微分公式を使います。$\log |u|$ の微分は $\frac{1}{u}$ 、$x + \sqrt{x^2 + A}$ の微分は $1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}$ なので、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$