与えられた積分を計算します。 $\int \sqrt{x(x+1)^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \sqrt{x(x+1)^2} dx$

2. 解き方の手順

まず、積分の中身を整理します。

$\sqrt{x(x+1)^2} = \sqrt{x} |x+1| = \sqrt{x} (x+1)$ (積分範囲は正であると仮定)

したがって、積分は次のようになります。

$\int \sqrt{x}(x+1) dx = \int (x^{3/2} + x^{1/2}) dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int x^{3/2} dx = \frac{x^{5/2}}{5/2} + C_1 = \frac{2}{5}x^{5/2} + C_1$

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C_2 = \frac{2}{3}x^{3/2} + C_2$

したがって、

$\int (x^{3/2} + x^{1/2}) dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C$

$= \frac{2}{5} x^2 \sqrt{x} + \frac{2}{3} x \sqrt{x} + C$

$= 2\sqrt{x} (\frac{x^2}{5} + \frac{x}{3}) + C$

$= 2\sqrt{x} (\frac{3x^2 + 5x}{15}) + C$

$= \frac{2}{15}x\sqrt{x}(3x+5) + C$

3. 最終的な答え

$\int \sqrt{x(x+1)^2} dx = \frac{2}{5}x^{5/2} + \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{15}x\sqrt{x}(3x+5) + C$