与えられた積分 $\int x\sin{x} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int x\sin{x} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。部分積分の公式は

$\int u dv = uv - \int v du$

です。

ここで、$u = x$、$dv = \sin{x} dx$ とおくと、

$du = dx$、$v = \int \sin{x} dx = -\cos{x}$

となります。

したがって、

$\int x\sin{x} dx = x(-\cos{x}) - \int (-\cos{x}) dx$

$= -x\cos{x} + \int \cos{x} dx$

$= -x\cos{x} + \sin{x} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int x\sin{x} dx = -x\cos{x} + \sin{x} + C$