与えられた極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$ (4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

1. 問題の内容

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限値を計算します。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$

$\sin^{-1}x = y$ とおくと、$x = \sin y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} = \lim_{y \to 0} \frac{1}{\frac{\sin y}{y}} = \frac{1}{1} = 1$$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x}$

$\tan^{-1}x = y$ とおくと、$x = \tan y$ であり、$x \to 0$ のとき $y \to 0$。したがって、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan^{-1}x}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\tan y} = \lim_{y \to 0} \frac{y \cos y}{\sin y} = \lim_{y \to 0} \frac{y}{\sin y} \cdot \lim_{y \to 0} \cos y = 1 \cdot 1 = 1$$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x}$

$\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} - \frac{e^{-x} - 1}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} + \frac{e^{-x} - 1}{-2x} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

ただし、$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$ を利用。

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x}$

$\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x}$ なので、

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tanh x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x \cosh x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sinh x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cosh x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1$$

ただし、$\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ であり、$\lim_{x \to 0} \cosh x = 1$。

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) 1

(3) 1

(4) 1