与えられた問題は、$\int x^2 \cos x \, dx$ を計算することです。

1. 問題の内容

与えられた問題は、$\int x^2 \cos x \, dx$ を計算することです。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を繰り返し使うことで解くことができます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

まず、$u = x^2$ および $dv = \cos x \, dx$ とします。すると、$du = 2x \, dx$ および $v = \sin x$ となります。

したがって、

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - \int 2x \sin x \, dx$

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2 \int x \sin x \, dx$

次に、$\int x \sin x \, dx$ を計算します。

$u = x$ および $dv = \sin x \, dx$ とします。すると、$du = dx$ および $v = -\cos x$ となります。

したがって、

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x - \int (-\cos x) \, dx$

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \int \cos x \, dx$

$\int x \sin x \, dx = -x \cos x + \sin x + C_1$

これを最初の式に代入します。

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x - 2(-x \cos x + \sin x) + C$

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 \cos x \, dx = x^2 \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C$