SENSEI AI
About App

与えられた積分を計算します。積分は $\int x^2 \log|x| dx$ です。

解析学積分部分積分対数関数
2025/6/27

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。積分は ∫x2log⁡∣x∣dx\int x^2 \log|x| dx です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて積分を計算します。
部分積分の公式は ∫udv=uv−∫vdu\int u dv = uv - \int v du です。
u=log⁡∣x∣u = \log|x| と dv=x2dxdv = x^2 dx と置きます。
すると、 du=1xdxdu = \frac{1}{x} dx と v=x33v = \frac{x^3}{3} となります。
部分積分の公式に代入すると、
∫x2log⁡∣x∣dx=x33log⁡∣x∣−∫x33⋅1xdx\int x^2 \log|x| dx = \frac{x^3}{3} \log|x| - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx
=x33log⁡∣x∣−∫x23dx= \frac{x^3}{3} \log|x| - \int \frac{x^2}{3} dx
=x33log⁡∣x∣−13∫x2dx= \frac{x^3}{3} \log|x| - \frac{1}{3} \int x^2 dx
=x33log⁡∣x∣−13⋅x33+C= \frac{x^3}{3} \log|x| - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C
=x33log⁡∣x∣−x39+C= \frac{x^3}{3} \log|x| - \frac{x^3}{9} + C

3. 最終的な答え

∫x2log⁡∣x∣dx=x33log⁡∣x∣−x39+C\int x^2 \log|x| dx = \frac{x^3}{3} \log|x| - \frac{x^3}{9} + C

「解析学」の関連問題

関数 $f(x)$ は区間 $\bar{I}$ で連続、区間 $I$ で微分可能であるとき、与えられた選択肢の中から正しいものを全て選択する問題です。ただし、$I=(a,b)$, $\bar{I}=[...

微分連続単調増加単調減少導関数不等式
2025/6/27

2つの放物線 $y = x^2 - 4x + 2$ と $y = -x^2 + 2x - 2$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める問題です。

定積分面積放物線
2025/6/27

$\sin\theta + \cos\theta$ を一つのsin関数に変形せよ。また、$\sin(\frac{\pi}{6}-\theta)-\cos\theta$が与えられている。

三角関数三角関数の合成加法定理
2025/6/27

関数 $f(x) = \frac{3x-1}{x^2+x+5}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$を求めよ。 (2) $f'(x) = 0$ となる $x$ の値をすべて求めよ...

微分増減極値関数の解析
2025/6/27

与えられた積分を計算する問題です。 $\int (x-2)e^x dx$

積分部分積分指数関数
2025/6/27

与えられた積分を計算します。 $\int (e^{2x} + e^{-x})^4 (2e^{2x} - e^{-x}) dx$

積分置換積分
2025/6/27

関数 $f(x, y) = \frac{1}{x^2 + y^2}$ について、以下の2つの問いに答えます。 (a) $\text{grad} \frac{1}{x^2 + y^2}$ を求める。 (...

偏微分勾配方向微分ベクトル解析多変数関数
2025/6/27

与えられた極限値を求める問題です。具体的には、以下の4つの極限値を計算します。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1}x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0...

極限微分逆三角関数双曲線関数
2025/6/27

$\int e^x \sin x dx$ を計算する問題です。

積分部分積分指数関数三角関数
2025/6/27

与えられた積分 $\int x\sin{x} dx$ を計算する。

積分部分積分定積分三角関数
2025/6/27