与えられた3つの関数を微分する問題です。ここで、aは正の定数、Aは定数とします。 (1) $y = \log(x^2 + 1)$ (2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$ (3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。ここで、aは正の定数、Aは定数とします。

(1) $y = \log(x^2 + 1)$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$

(3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

2. 解き方の手順

(1) $y = \log(x^2 + 1)$

合成関数の微分を行います。$\log x$ の微分は $\frac{1}{x}$ であることを利用します。

$y' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $y = \log(\sqrt{x} + 1)$

これも合成関数の微分を行います。$\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ の微分は $\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ であることを利用します。

$y' = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot (\sqrt{x} + 1)' = \frac{1}{\sqrt{x} + 1} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}(\sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $y = \log|x + \sqrt{x^2 + A}|$

これも合成関数の微分を行います。絶対値記号があるので注意が必要です。$\log|f(x)|$ の微分は $\frac{f'(x)}{f(x)}$ となります。

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot (x + \sqrt{x^2 + A})'$

ここで、$\sqrt{x^2 + A}$ の微分を計算します。

$(\sqrt{x^2 + A})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot (x^2 + A)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + A}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}}$

したがって、

$(x + \sqrt{x^2 + A})' = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{\sqrt{x^2 + A} + x}{\sqrt{x^2 + A}}$

よって、

$y' = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + A}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + A}}{\sqrt{x^2 + A}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{2x}{x^2 + 1}$

(2) $y' = \frac{1}{2(x + \sqrt{x})}$

(3) $y' = \frac{1}{\sqrt{x^2 + A}}$