以下の3つの極限値を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$ (2) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$ (3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1))$

1. 問題の内容

以下の3つの極限値を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8}$

(2) $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1))$

2. 解き方の手順

(1)

まず、分子と分母に $x=2$ を代入すると、どちらも0になるので、不定形です。したがって、因数分解をして約分します。

分子： $2x^2 - x - 6 = (2x + 3)(x - 2)$

分母： $3x^2 - 2x - 8 = (3x + 4)(x - 2)$

よって、

$\lim_{x \to 2} \frac{2x^2 - x - 6}{3x^2 - 2x - 8} = \lim_{x \to 2} \frac{(2x + 3)(x - 2)}{(3x + 4)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{2x + 3}{3x + 4}$

$x = 2$を代入すると、

$\frac{2(2) + 3}{3(2) + 4} = \frac{4 + 3}{6 + 4} = \frac{7}{10}$

(2)

分子と分母をそれぞれ$x$の最高次の項で割ります。この場合、$x^3$で割ります。

$\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 6x^2 + x^3}{2 - 5x^3} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x^3} - \frac{6x^2}{x^3} + \frac{x^3}{x^3}}{\frac{2}{x^3} - \frac{5x^3}{x^3}} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6}{x} + 1}{\frac{2}{x^3} - 5}$

$x \to \infty$のとき、$\frac{3}{x^2} \to 0$、$\frac{6}{x} \to 0$、$\frac{2}{x^3} \to 0$なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3}{x^2} - \frac{6}{x} + 1}{\frac{2}{x^3} - 5} = \frac{0 - 0 + 1}{0 - 5} = \frac{1}{-5} = -\frac{1}{5}$

(3)

$\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1)$ を有理化します。

$\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1) = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x - 3} - (x - 1))(\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1))}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)}$

$= \frac{(x^2 + 2x - 3) - (x - 1)^2}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)} = \frac{x^2 + 2x - 3 - (x^2 - 2x + 1)}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)}$

$= \frac{4x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)}$

分子と分母を$x$で割ります。$\sqrt{x^2}$ は $x$ として扱います。

$\frac{4x - 4}{\sqrt{x^2 + 2x - 3} + (x - 1)} = \frac{\frac{4x}{x} - \frac{4}{x}}{\frac{\sqrt{x^2 + 2x - 3}}{x} + \frac{x}{x} - \frac{1}{x}} = \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{\frac{x^2 + 2x - 3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$, $\frac{2}{x} \to 0$, $\frac{3}{x^2} \to 0$, $\frac{1}{x} \to 0$ なので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{4}{x}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x} - \frac{3}{x^2}} + 1 - \frac{1}{x}} = \frac{4 - 0}{\sqrt{1 + 0 - 0} + 1 - 0} = \frac{4}{\sqrt{1} + 1} = \frac{4}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{10}$

(2) $-\frac{1}{5}$

(3) $2$