次の6つの積分を計算します。 (1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$ (2) $\int 2xe^{x^2} dx$ (3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$ (4) $\int \sin^2 x \cos x dx$ (5) $\int \frac{\log x}{x} dx$ (6) $\int \tan x dx$

はい、承知いたしました。以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

次の6つの積分を計算します。

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

(4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

(5) $\int \frac{\log x}{x} dx$

(6) $\int \tan x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

$u = x^2+4$ と置換すると、$du = 2x dx$ なので、

$\int 2x(x^2+4)^8 dx = \int u^8 du = \frac{1}{9}u^9 + C = \frac{1}{9}(x^2+4)^9 + C$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ なので、

$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

$u = x^3+2$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$ なので、

$\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$

(4) $\int \sin^2 x \cos x dx$

$u = \sin x$ と置換すると、$du = \cos x dx$ なので、

$\int \sin^2 x \cos x dx = \int u^2 du = \frac{1}{3}u^3 + C = \frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(5) $\int \frac{\log x}{x} dx$

$u = \log x$ と置換すると、$du = \frac{1}{x} dx$ なので、

$\int \frac{\log x}{x} dx = \int u du = \frac{1}{2}u^2 + C = \frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

(6) $\int \tan x dx$

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ なので、

$\int \tan x dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} dx$

$u = \cos x$ と置換すると、$du = -\sin x dx$ なので、

$\int \frac{\sin x}{\cos x} dx = \int -\frac{1}{u} du = -\log |u| + C = -\log |\cos x| + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{9}(x^2+4)^9 + C$

(2) $e^{x^2} + C$

(3) $\frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$

(4) $\frac{1}{3}\sin^3 x + C$

(5) $\frac{1}{2}(\log x)^2 + C$

(6) $-\log |\cos x| + C$