以下の3つの積分を計算します。 (1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$ (2) $\int 2xe^{x^2} dx$ (3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

1. 問題の内容

以下の3つの積分を計算します。

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

置換積分を用います。$u = x^2+4$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x dx$ となります。

したがって、

$$\int 2x(x^2+4)^8 dx = \int u^8 du$$

$$= \frac{u^9}{9} + C$$

$$= \frac{(x^2+4)^9}{9} + C$$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

置換積分を用います。$u = x^2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 2x$ より $du = 2x dx$ となります。

したがって、

$$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^u du$$

$$= e^u + C$$

$$= e^{x^2} + C$$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

置換積分を用います。$u = x^3+2$ とすると、$\frac{du}{dx} = 3x^2$ より $du = 3x^2 dx$ となります。

したがって、

$$\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx = \int \sqrt{u} du$$

$$= \int u^{\frac{1}{2}} du$$

$$= \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C$$

$$= \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C$$

$$= \frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $e^{x^2} + C$

(3) $\frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$