$\sqrt{5}$の近似値をニュートン法を用いて求める問題です。まず、$f(x) = x^2 - 5$を考え、$x_0 > \sqrt{5}$を満たす最小の自然数$x_0$を求めます。その後、ニュートン法による漸化式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$を用いて、$x_1$を計算し、$x_1 = \frac{a}{b}$の形で表したときの$a$と$b$の値を求めます。

1. 問題の内容

$\sqrt{5}$の近似値をニュートン法を用いて求める問題です。まず、$f(x) = x^2 - 5$を考え、$x_0 > \sqrt{5}$を満たす最小の自然数$x_0$を求めます。その後、ニュートン法による漸化式$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$を用いて、$x_1$を計算し、$x_1 = \frac{a}{b}$の形で表したときの$a$と$b$の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^2 - 5$を考えます。

次に、$x_0 > \sqrt{5}$を満たす最小の自然数$x_0$を求めます。$\sqrt{5} \approx 2.236$なので、$x_0 = 3$となります。実際、$x_0^2 = 3^2 = 9 > 5$を満たします。

ニュートン法の漸化式は、

$x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$

で与えられます。$f(x) = x^2 - 5$なので、$f'(x) = 2x$となります。したがって、

$x_{n+1} = x_n - \frac{x_n^2 - 5}{2x_n} = \frac{2x_n^2 - (x_n^2 - 5)}{2x_n} = \frac{x_n^2 + 5}{2x_n}$

となります。

$x_0 = 3$を代入して、$x_1$を計算します。

$x_1 = \frac{x_0^2 + 5}{2x_0} = \frac{3^2 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{9 + 5}{6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$

したがって、$x_1 = \frac{7}{3}$なので、$a = 7$, $b = 3$となります。

3. 最終的な答え

$f(x) = x^2 - 5$

$x_0 = 3$

$a = 7$

$b = 3$