与えられた積分 $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x})^2 dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x})^2 dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$(\sqrt{x} + \frac{1}{x})^2 = (\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\cdot\frac{1}{x} + (\frac{1}{x})^2 = x + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int (\sqrt{x} + \frac{1}{x})^2 dx = \int (x + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}) dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int x dx = \frac{1}{2}x^2 + C_1$

$\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 2\int x^{-\frac{1}{2}} dx = 2 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C_2 = 4\sqrt{x} + C_2$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C_3 = -\frac{1}{x} + C_3$

したがって、積分の結果は次のようになります。

$\int (x + \frac{2}{\sqrt{x}} + \frac{1}{x^2}) dx = \frac{1}{2}x^2 + 4\sqrt{x} - \frac{1}{x} + C$

ここで、$C = C_1 + C_2 + C_3$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}x^2 + 4\sqrt{x} - \frac{1}{x} + C$