与えられた積分問題を計算します。問題は以下の2つのグループに分かれています。 グループ1（問6.1.2, (1)~(5)） (1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$ (2) $\int (2x+3)^3 dx$ (3) $\int \frac{1}{(4x+3)^3} dx$ (4) $\int \sqrt{2x+3} dx$ (5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$ グループ2（問6.1.3, (1)~(3)） (1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$ (2) $\int 2xe^{x^2} dx$ (3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

はい、承知いたしました。画像にある積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた積分問題を計算します。問題は以下の2つのグループに分かれています。

グループ1（問6.1.2, (1)~(5)）

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

(3) $\int \frac{1}{(4x+3)^3} dx$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

グループ2（問6.1.3, (1)~(3)）

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

2. 解き方の手順

グループ1

(1) $\int \frac{1}{2x+1} dx$

$u = 2x+1$ と置換すると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \frac{1}{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C = \frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\int (2x+3)^3 dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$。

$\int u^3 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^3 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^4}{4} + C = \frac{(2x+3)^4}{8} + C$

(3) $\int \frac{1}{(4x+3)^3} dx$

$u = 4x+3$ と置換すると、$du = 4 dx$, $dx = \frac{1}{4} du$。

$\int \frac{1}{u^3} \frac{1}{4} du = \frac{1}{4} \int u^{-3} du = \frac{1}{4} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{8(4x+3)^2} + C$

(4) $\int \sqrt{2x+3} dx$

$u = 2x+3$ と置換すると、$du = 2 dx$, $dx = \frac{1}{2} du$。

$\int \sqrt{u} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x+3)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{1}{3} (2x+3)\sqrt{2x+3} + C$

(5) $\int \frac{1}{\sqrt{2-3x}} dx$

$u = 2-3x$ と置換すると、$du = -3 dx$, $dx = -\frac{1}{3} du$。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{3}) du = -\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{3} \cdot \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = -\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

グループ2

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

$u = x^2+4$ と置換すると、$du = 2x dx$。

$\int u^8 du = \frac{u^9}{9} + C = \frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$。

$\int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

$u = x^3+2$ と置換すると、$du = 3x^2 dx$。

$\int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3} (x^3+2)\sqrt{x^3+2} + C$

3. 最終的な答え

グループ1

(1) $\frac{1}{2} \ln |2x+1| + C$

(2) $\frac{(2x+3)^4}{8} + C$

(3) $-\frac{1}{8(4x+3)^2} + C$

(4) $\frac{1}{3} (2x+3)\sqrt{2x+3} + C$

(5) $-\frac{2}{3} \sqrt{2-3x} + C$

グループ2

(1) $\frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $e^{x^2} + C$

(3) $\frac{2}{3} (x^3+2)\sqrt{x^3+2} + C$