与えられた3つの積分を計算します。 (1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$ (2) $\int 2xe^{x^2} dx$ (3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの積分を計算します。

(1) $\int 2x(x^2+4)^8 dx$

(2) $\int 2xe^{x^2} dx$

(3) $\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $u = x^2 + 4$ と置換します。

$du = 2x dx$ となります。

よって、

$\int 2x(x^2+4)^8 dx = \int u^8 du = \frac{u^9}{9} + C = \frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $u = x^2$ と置換します。

$du = 2x dx$ となります。

よって、

$\int 2xe^{x^2} dx = \int e^u du = e^u + C = e^{x^2} + C$

(3) $u = x^3 + 2$ と置換します。

$du = 3x^2 dx$ となります。

よって、

$\int 3x^2\sqrt{x^3+2} dx = \int \sqrt{u} du = \int u^{\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{(x^2+4)^9}{9} + C$

(2) $e^{x^2} + C$

(3) $\frac{2}{3}(x^3+2)^{\frac{3}{2}} + C$