与えられた数列 $5, 6, 8, 12, (\quad), 30$ の規則性を見抜き、空欄に入る数字を選択肢の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $5, 6, 8, 12, (\quad), 30$ の規則性を見抜き、空欄に入る数字を選択肢の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

数列の隣り合う項の差を計算してみます。

* $6 - 5 = 1$

* $8 - 6 = 2$

* $12 - 8 = 4$

差が $1, 2, 4$ となっているので、次は $8$ となることが予想できます。

したがって、次の項は $12 + 8 = 20$ となります。

さらに、次の項との差を確認するために、$30 - 20 = 10$ となるはずですが、これは $8$ の次の数として適切ではありません。

数列の比を調べてみます。

* 6 / 5 = 1.2

* 8 / 6 = 1.333

* 12 / 8 = 1.5

この方法では規則性を見つけるのは難しいです。

再度差分に注目し、差が等比数列になっていると仮定します。

$1, 2, 4$ときたら次は$8$ですので、$12+8=20$となりそうです。しかし、$20,30$の間は$10$なので等比数列にはなりません。

ここで、各項の差が $1, 2, 4, ...$となっていることから、差が2倍ずつになっていることがわかります。

したがって、次の差は $4 \times 2 = 8$ となり、次の項は $12 + 8 = 20$ となります。

さらに次の差は $8 \times 2 = 16$ となり、最後の項は $20 + 10 = 30$ となります。

ここで計算が合いません。

そこで発想を変えて、階差数列が等差数列となっている場合を考えます。

階差数列を $a_n$ とすると、$a_1 = 1$, $a_2 = 2$, $a_3 = 4$ です。

この階差数列の階差数列を $b_n$ とすると、$b_1 = 1$, $b_2 = 2$ となります。

$b_n$ が等差数列であれば、$b_3 = 3$ となるので、$a_4 = a_3 + b_3 = 4 + 3 = 7$ となります。

したがって、元の数列の次の項は $12 + 7 = 19$ となります。

さらに次の階差は $7 + 4 = 11$ となるので、次の項は $19 + 11 = 30$となり条件を満たします。

3. 最終的な答え

したがって、空欄に入る数字は $19$ です。

選択肢④が正解です。