「九九の表」の一部分が省略された表において、縦に連続する3つのます目を黒く塗り、そのます目の数を上から順に $a, b, c$ とします。 (1) $a+c$ を $b$ の式で表してください。 (2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示してください。

以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

「九九の表」の一部分が省略された表において、縦に連続する3つのます目を黒く塗り、そのます目の数を上から順に $a, b, c$ とします。

(1) $a+c$ を $b$ の式で表してください。

(2) $a+b+c = 48$ となるような塗り方をすべて求め、表のます目を黒く塗って示してください。

2. 解き方の手順

(1)

表の数字は、行番号と列番号の積で表されます。

縦に連続する３つの数字を塗るので、行番号は連続します。

$b$ の行番号を $n$ とすると、$a$ は $n-1$ 行、$c$ は $n+1$ 行になります。

列番号を $m$ とすると、$a = (n-1)m$, $b = nm$, $c = (n+1)m$ と表せます。

したがって、

$a + c = (n-1)m + (n+1)m = nm - m + nm + m = 2nm = 2b$

よって、$a + c = 2b$

(2)

$a+b+c = 48$ とします。

(1)より $a+c = 2b$ なので、$2b + b = 48$ となります。

$3b = 48$

$b = 16$

$b = nm = 16$ となる $n, m$ の組み合わせを探します。

考えられる組み合わせは、

$(n, m) = (2, 8), (4, 4), (8, 2)$ です。

- $(n, m) = (2, 8)$ のとき、

$a = (n-1)m = (2-1)8 = 8$

$c = (n+1)m = (2+1)8 = 24$

$a+b+c = 8 + 16 + 24 = 48$

これは条件を満たします。

- $(n, m) = (4, 4)$ のとき、

$a = (n-1)m = (4-1)4 = 12$

$c = (n+1)m = (4+1)4 = 20$

$a+b+c = 12 + 16 + 20 = 48$

これは条件を満たします。

- $(n, m) = (8, 2)$ のとき、

$a = (n-1)m = (8-1)2 = 14$

$c = (n+1)m = (8+1)2 = 18$

$a+b+c = 14 + 16 + 18 = 48$

これは条件を満たします。

3. 最終的な答え

(1) $a+c = 2b$

(2)

- $a=8, b=16, c=24$ （2行8列、1行8列、3行8列を黒く塗る）

- $a=12, b=16, c=20$ （4行4列、3行4列、5行4列を黒く塗る）

- $a=14, b=16, c=18$ （8行2列、7行2列、9行2列を黒く塗る）

(表の黒塗りについては、指示がないため省略します)