20個の飴を3兄弟で分ける問題です。条件は以下の通りです。 * 三男 < 次男 < 長男 (もらう飴の個数) * 三男は可能な限り多くもらう このとき、長男が少なくとも何個もらうかを求めます。

1. 問題の内容

20個の飴を3兄弟で分ける問題です。条件は以下の通りです。

* 三男 < 次男 < 長男 (もらう飴の個数)

* 三男は可能な限り多くもらう

このとき、長男が少なくとも何個もらうかを求めます。

2. 解き方の手順

まず、三男が可能な限り多くもらうことを考えます。

三男、次男、長男の順にもらう飴の個数を $x, y, z$ とします。

条件より、$x < y < z$ であり、$x + y + z = 20$ です。

三男が可能な限り多くもらうためには、$y$ と $z$ の差をできるだけ小さくする必要があります。

$x, y, z$ は整数なので、$x = y - 1$ 、 $y = z - 1$ ということはできません。

しかし、$x = y - 1$ と仮定して、$x + y + z = 20$ に代入すると、$x + (x+1) + z = 20$ となります。

さらに、三男が可能な限り多くもらうためには、次男と長男の差をなるべく小さくする必要があります。

ここでは、$x < y < z$ となるように、三男に渡す飴の数をある程度仮定して、条件を満たすように計算してみます。

もし三男が6個もらったとすると、$x = 6$ です。

すると、$6 + y + z = 20$ より、$y + z = 14$ となります。$6 < y < z$ を満たす必要があります。

$y = 7$とすると、$z = 7$ となって、$y < z$ を満たしません。

$y = 7$ はダメなので、$y = 6+1=7$ から試してみます。

もし、$y=7$ ならば、$z = 20 - 6 - 7 = 7$ となって、$y < z$ の条件を満たさないので、 $y \ge 8$ とする必要が生じます。

三男が5個の場合、$x = 5$ です。すると、$5 + y + z = 20$ より、$y + z = 15$ となります。

$y = 7$ の場合、$z = 8$ となり、$5 < 7 < 8$ を満たします。

これは条件を満たす組み合わせの一つです。

三男が可能な限り多くもらうためには、次男と長男の差ができるだけ小さくなるようにします。

$y= \lfloor \frac{15}{2} \rfloor +1=8,z=7$では、$y<z$に矛盾します。

この場合、 $y = z-1$ となるように試してみましょう。

$y = z-1$ を $y + z = 15$ に代入すると、$2z - 1 = 15$ となり、$2z = 16$、$z = 8$ となります。

すると、$y = 7$ となります。このとき、$x = 5$ なので、$x < y < z$ を満たし、かつ合計が20になる組み合わせが得られました。

つまり、$x = 5, y = 7, z = 8$ が一つの解です。

長男が少なくとももらう数を求めます。三男と次男の差を大きくすれば長男がもらう数は大きくなります。

$x = 1$の場合、$y + z = 19$となります。$y \ge 2$なので$z \le 17$です。

また、yとzの差が最大になるのは、$y=2$, $z=17$のときです。

したがって、長男は少なくとも8個もらうことになります。

3. 最終的な答え

8個