4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を以下の範囲で因数分解する。 (ア) 有理数 (イ) 実数 (ウ) 複素数

1. 問題の内容

4次式 $x^4 + x^2 - 12$ を以下の範囲で因数分解する。

(ア) 有理数

(イ) 実数

(ウ) 複素数

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、$x^4 + x^2 - 12 = t^2 + t - 12$ となる。

この2次式を因数分解すると、

$t^2 + t - 12 = (t + 4)(t - 3)$ となる。

したがって、$x^4 + x^2 - 12 = (x^2 + 4)(x^2 - 3)$ となる。

(ア) 有理数の範囲で因数分解する場合、$x^2 - 3$ は有理数の範囲で因数分解できないため、これが答えとなる。

したがって、$x^4 + x^2 - 12 = (x^2 + 4)(x^2 - 3)$.

(イ) 実数の範囲で因数分解する場合、$x^2 + 4 = 0$ の解は $x = \pm 2i$ であるため、実数の範囲では因数分解できない。

$x^2 - 3 = 0$ の解は $x = \pm \sqrt{3}$ であるため、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できる。

したがって、$x^4 + x^2 - 12 = (x^2 + 4)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ となる。

(ウ) 複素数の範囲で因数分解する場合、$x^2 + 4 = 0$ の解は $x = \pm 2i$ であるため、$x^2 + 4 = (x - 2i)(x + 2i)$ と因数分解できる。

$x^2 - 3 = 0$ の解は $x = \pm \sqrt{3}$ であるため、$x^2 - 3 = (x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ と因数分解できる。

したがって、$x^4 + x^2 - 12 = (x - 2i)(x + 2i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$ となる。

3. 最終的な答え

(ア) 有理数: $(x^2 + 4)(x^2 - 3)$

(イ) 実数: $(x^2 + 4)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$

(ウ) 複素数: $(x - 2i)(x + 2i)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$