$a$ を定数とする。次の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選択し、そのときの $a$ の値を求めよ。 (I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$ (II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$ (III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。次の(I)～(III)の連立不等式のうち、解が $x=2$ となるような $a$ の値が存在するものを選択し、そのときの $a$ の値を求めよ。

(I) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$

(II) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$

(III) $\begin{cases} 6x-1 \geq x+9 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

2. 解き方の手順

まず、$6x-1 \geq x+9$ を解きます。

$6x - x \geq 9 + 1$

$5x \geq 10$

$x \geq 2$

(I) $\begin{cases} x \geq 2 \\ x-a \leq 2x+1 \end{cases}$

$x=2$ が解なので、$x=2$ を代入します。

$2-a \leq 2(2)+1$

$2-a \leq 5$

$-a \leq 3$

$a \geq -3$

よって、$x=2$ が解であるような $a$ の値は $a \geq -3$ です。

(II) $\begin{cases} x \geq 2 \\ x-a \geq 2x+1 \end{cases}$

$x=2$ が解なので、$x=2$ を代入します。

$2-a \geq 2(2)+1$

$2-a \geq 5$

$-a \geq 3$

$a \leq -3$

よって、$x=2$ が解であるような $a$ の値は $a \leq -3$ です。

(III) $\begin{cases} x \geq 2 \\ x-a > 2x+1 \end{cases}$

$x=2$ が解なので、$x=2$ を代入します。

$2-a > 2(2)+1$

$2-a > 5$

$-a > 3$

$a < -3$

よって、$x=2$ が解であるような $a$ の値は $a < -3$ です。

問題文より、解は $x=2$ となるような $a$ の値を求めるとあるので、

(I)は $x=2$ を満たす。$x=2$ を代入すると、$a \geq -3$。このとき$x=2$が解になるので$a \geq -3$

(II)は $x=2$ を満たす。$x=2$ を代入すると、$a \leq -3$。$a=-3$のとき$x=2$が解になるので、$a \leq -3$

(III)は $x=2$ を満たす。$x=2$ を代入すると、$a < -3$。$a=-3$を含まないので、 $x=2$ は解とならない。

3. 最終的な答え

(I) $a \geq -3$

(II) $a \leq -3$