画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の小問に答えます。 (1) $x = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$、$y = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ のとき、$x+y$、$x^2+y^2$、$x^3+y^3$ の値を求めます。 (2) データ 10, 5, 3, 11, 6, 10, 2, 12, 5 の箱ひげ図として正しいものを選択肢から選びます。 (3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt[6]{2^3})^{-6}$ および $\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3}\log_2 3$ の値を求めます。 (4) 整式 $2x^3 + 9x^2 - 11x + 10$ を整式 $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めます。 (5) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$、外接円の半径が 6 であるとき、$\sin C$ の値を求めます。 (6) 第8項が40、第12項が64である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

1. 問題の内容

画像に写っている数学の問題を解きます。具体的には、以下の小問に答えます。

(1) $x = \frac{1}{3 + \sqrt{7}}$、$y = \frac{3 + \sqrt{7}}{2}$ のとき、$x+y$、$x^2+y^2$、$x^3+y^3$ の値を求めます。

(2) データ 10, 5, 3, 11, 6, 10, 2, 12, 5 の箱ひげ図として正しいものを選択肢から選びます。

(3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt[6]{2^3})^{-6}$ および $\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3}\log_2 3$ の値を求めます。

(4) 整式 $2x^3 + 9x^2 - 11x + 10$ を整式 $2x - 1$ で割ったときの商と余りを求めます。

(5) $\triangle ABC$ において、$AB = 4$、外接円の半径が 6 であるとき、$\sin C$ の値を求めます。

(6) 第8項が40、第12項が64である等差数列 $\{a_n\}$ の一般項 $a_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$x+y$ を計算します。

$x + y = \frac{1}{3 + \sqrt{7}} + \frac{3 + \sqrt{7}}{2} = \frac{2 + (3 + \sqrt{7})^2}{2(3 + \sqrt{7})} = \frac{2 + 9 + 6\sqrt{7} + 7}{2(3 + \sqrt{7})} = \frac{18 + 6\sqrt{7}}{2(3 + \sqrt{7})} = \frac{6(3 + \sqrt{7})}{2(3 + \sqrt{7})} = 3$

次に、$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 + y^2 = (x + y)^2 - 2xy$

$xy = \frac{1}{3 + \sqrt{7}} \times \frac{3 + \sqrt{7}}{2} = \frac{1}{2}$

$x^2 + y^2 = 3^2 - 2 \times \frac{1}{2} = 9 - 1 = 8$

次に、$x^3 + y^3$ を計算します。

$x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) = (x + y)((x^2 + y^2) - xy) = 3(8 - \frac{1}{2}) = 3 \times \frac{15}{2} = \frac{45}{2}$

(2)

与えられたデータを小さい順に並べると、2, 3, 5, 5, 6, 10, 10, 11, 12 となります。

最小値: 2

最大値: 12

中央値: 6

第1四分位数: 3

第3四分位数: 10

この条件を満たす箱ひげ図は④です。

(3)

$(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt[6]{2^3})^{-6} = (2^{\frac{1}{3}} \times 2 \div 2^{\frac{3}{6}})^{-6} = (2^{\frac{1}{3}} \times 2^1 \div 2^{\frac{1}{2}})^{-6} = (2^{\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{2}})^{-6} = (2^{\frac{2+6-3}{6}})^{-6} = (2^{\frac{5}{6}})^{-6} = 2^{-5} = \frac{1}{32}$

$\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3}\log_2 3 = \log_2 (18^{\frac{1}{3}}) - \log_2 (3^{\frac{2}{3}}) = \log_2 (\frac{18^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}) = \log_2 (\frac{(2 \times 3^2)^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}) = \log_2 (\frac{2^{\frac{1}{3}} \times 3^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{2}{3}}}) = \log_2 (2^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3}$

(4)

$2x^3 + 9x^2 - 11x + 10$ を $2x - 1$ で割ります。

商: $x^2 + 5x - 3$

余り: 7

$2x^3 + 9x^2 - 11x + 10 = (2x - 1)(x^2 + 5x - 3) + 7$

(5)

正弦定理より、$\frac{AB}{\sin C} = 2R$ なので、$\frac{4}{\sin C} = 2 \times 6 = 12$

$\sin C = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$

(6)

等差数列の一般項を $a_n = an + b$ とします。

$a_8 = 8a + b = 40$

$a_{12} = 12a + b = 64$

引き算をすると、$4a = 24$ より $a = 6$

$8 \times 6 + b = 40$ より $48 + b = 40$ なので $b = -8$

$a_n = 6n - 8$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 3$, $x^2+y^2 = 8$, $x^3+y^3 = \frac{45}{2}$

(2) ④

(3) $(\sqrt[3]{2} \times 2 \div \sqrt[6]{2^3})^{-6} = \frac{1}{32}$, $\log_2 \sqrt[3]{18} - \frac{2}{3}\log_2 3 = \frac{1}{3}$

(4) 商は $x^2 + 5x - 3$, 余りは 7

(5) $\sin C = \frac{1}{3}$

(6) $a_n = 6n - 8$