二次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解を持つときの、定数 $m$ の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

二次方程式 $x^2 + 2mx + m^2 + 2m - 8 = 0$ が異なる2つの負の解を持つときの、定数 $m$ の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

二次方程式が異なる2つの実数解を持つためには、判別式 $D > 0$ である必要があります。

与えられた二次方程式の判別式 $D$ は、

$D = (2m)^2 - 4(1)(m^2 + 2m - 8) = 4m^2 - 4m^2 - 8m + 32 = -8m + 32$

であるので、

$-8m + 32 > 0$

$8m < 32$

$m < 4$

次に、2つの解を $\alpha$ と $\beta$ とすると、$\alpha < 0$ かつ $\beta < 0$ である必要があります。

解と係数の関係から、

$\alpha + \beta = -2m$

$\alpha \beta = m^2 + 2m - 8$

2つの解が負であるためには、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ である必要があります。

$\alpha + \beta = -2m < 0$ より $m > 0$

$\alpha \beta = m^2 + 2m - 8 > 0$ より $(m+4)(m-2) > 0$

したがって、$m < -4$ または $m > 2$

以上の条件をすべて満たす $m$ の範囲を求めます。

1. $m < 4$

2. $m > 0$

3. $m < -4$ または $m > 2$

これらをすべて満たすのは、$2 < m < 4$ です。

3. 最終的な答え

$2 < m < 4$