与えられた数式の値を計算します。数式は $log_7{\sqrt{3}} + \frac{1}{2}log_7{\frac{49}{15}} + \frac{3}{2}log_7{\sqrt[3]{5}}$ です。

1. 問題の内容

与えられた数式の値を計算します。数式は

$log_7{\sqrt{3}} + \frac{1}{2}log_7{\frac{49}{15}} + \frac{3}{2}log_7{\sqrt[3]{5}}$

です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して式を簡略化します。

$log_a{x^n} = n log_a{x}$

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$ なので、

$log_7{\sqrt{3}} = log_7{3^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}log_7{3}$

$\frac{49}{15} = \frac{7^2}{15}$ なので、

$\frac{1}{2}log_7{\frac{49}{15}} = \frac{1}{2}log_7{\frac{7^2}{15}} = \frac{1}{2}(log_7{7^2} - log_7{15}) = \frac{1}{2}(2 - log_7{15}) = 1 - \frac{1}{2}log_7{15}$

$\sqrt[3]{5} = 5^{\frac{1}{3}}$ なので、

$\frac{3}{2}log_7{\sqrt[3]{5}} = \frac{3}{2}log_7{5^{\frac{1}{3}}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3}log_7{5} = \frac{1}{2}log_7{5}$

与えられた式にこれらを代入すると、

$\frac{1}{2}log_7{3} + 1 - \frac{1}{2}log_7{15} + \frac{1}{2}log_7{5} = \frac{1}{2}(log_7{3} - log_7{15} + log_7{5}) + 1$

対数の性質 $log_a{x} - log_a{y} = log_a{\frac{x}{y}}$ および $log_a{x} + log_a{y} = log_a{xy}$ を利用すると、

$log_7{3} - log_7{15} + log_7{5} = log_7{\frac{3}{15}} + log_7{5} = log_7{\frac{1}{5}} + log_7{5} = log_7{(\frac{1}{5} \cdot 5)} = log_7{1} = 0$

したがって、$\frac{1}{2}(0) + 1 = 1$

3. 最終的な答え

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