実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを目的とする問題です。絶対値記号とルート記号を外すために、$a$ の値の範囲によって場合分けを行います。

1. 問題の内容

実数 $a$ に対して、$A = \sqrt{9a^2 - 6a + 1} + |a+2|$ を簡単にすることを目的とする問題です。絶対値記号とルート記号を外すために、$a$ の値の範囲によって場合分けを行います。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{9a^2 - 6a + 1}$ を簡単にします。

$9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$ であるため、

$\sqrt{9a^2 - 6a + 1} = \sqrt{(3a - 1)^2} = |3a - 1|$ となります。

したがって、$A = |3a - 1| + |a + 2|$ となります。

絶対値を外すために、$3a - 1$ と $a + 2$ の符号が変化する $a$ の値を求めます。

$3a - 1 = 0$ より $a = \frac{1}{3}$

$a + 2 = 0$ より $a = -2$

したがって、$a$ の値の範囲を以下の3つの場合に分けて考えます。

(i) $a > \frac{1}{3}$ のとき、$3a - 1 > 0$ かつ $a + 2 > 0$ であるため、

$A = (3a - 1) + (a + 2) = 4a + 1$

(ii) $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき、$3a - 1 \le 0$ かつ $a + 2 \ge 0$ であるため、

$A = -(3a - 1) + (a + 2) = -3a + 1 + a + 2 = -2a + 3$

(iii) $a < -2$ のとき、$3a - 1 < 0$ かつ $a + 2 < 0$ であるため、

$A = -(3a - 1) - (a + 2) = -3a + 1 - a - 2 = -4a - 1$

したがって、

- ア = 3

- イ = 1

- ウ = 1

- エ = 3

- カキ = -2

となります。

それぞれの範囲における $A$ の値は、選択肢から以下のようになります。

- $a > \frac{1}{3}$ のとき、$A = 4a + 1$ なので、オ = 3

- $-2 \le a \le \frac{1}{3}$ のとき、$A = -2a + 3$ なので、ク = 6

- $a < -2$ のとき、$A = -4a - 1$ なので、ケ = 2

3. 最終的な答え

ア = 3

イ = 1

ウ = 1

エ = 3

カキ = -2

オ = 3

ク = 6

ケ = 2