$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、最小値を求める問題です。$1 < a < \text{ア}$ のとき、$x = \text{イ}$ で最小値 $\text{ウ}$ をとり、$ \text{ア} \le a$ のとき、$x = \text{エ}$ で最小値 $\text{オ}$ をとります。これらの空欄を埋める問題です。

1. 問題の内容

$a>1$ とする。定義域が $1 \le x \le a$ である関数 $y = x^2 - 4x + 7$ について、最小値を求める問題です。$1 < a < \text{ア}$ のとき、$x = \text{イ}$ で最小値 $\text{ウ}$ をとり、$\text{ア} \le a$ のとき、$x = \text{エ}$ で最小値 $\text{オ}$ をとります。これらの空欄を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数 $y = x^2 - 4x + 7$ を平方完成します。

$y = x^2 - 4x + 7 = (x - 2)^2 - 4 + 7 = (x - 2)^2 + 3$

この関数の軸は $x = 2$ で、下に凸の放物線です。定義域は $1 \le x \le a$ で、$a > 1$ です。

(i) $1 < a < 3$ のとき

軸 $x=2$ が定義域に含まれるので、頂点で最小値をとります。

したがって、$x = 2$ で最小値 $y = (2-2)^2 + 3 = 3$ をとります。

(ii) $3 \le a$ のとき

軸 $x=2$ が定義域に含まれるので、頂点で最小値をとります。

したがって、$x = 2$ で最小値 $y = (2-2)^2 + 3 = 3$ をとります。

ここで、問題文の$1<a<ア$ のとき、$x=$イで、最小値ウをとる。$ア \le a$ のとき、$x=エ$で、最小値オをとる、という構造を考慮すると、

$1<a<3$のとき、$x=2$ で最小値 $3$ をとる。

$3\le a$のとき、$x=2$ で最小値 $3$ をとる。

アに入るのは

3. イに入るのは

2. ウに入るのは

3. エに入るのは

2. オに入るのは

3.

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 2

ウ: 3

エ: 2

オ: 3