次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。 (1) $a_1 = 1, (n+1)a_{n+1} = na_n$ (2) $a_1 = 2, na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めます。

(1) $a_1 = 1, (n+1)a_{n+1} = na_n$

(2) $a_1 = 2, na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

2. 解き方の手順

(1) $a_1 = 1, (n+1)a_{n+1} = na_n$

与えられた漸化式より、

$(n+1)a_{n+1} = na_n$

$\frac{a_{n+1}}{n} = \frac{a_n}{n+1}$ ではない。

$a_{n+1} = \frac{n}{n+1}a_n$

$a_n = a_1\prod_{k=1}^{n-1} \frac{k}{k+1} = 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \dots \cdot \frac{n-1}{n} = \frac{1}{n}$

したがって、$a_n = \frac{1}{n}$

(2) $a_1 = 2, na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

与えられた漸化式より、

$na_{n+1} = (n+1)a_n + 1$

両辺を $n(n+1)$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{n+1} = \frac{a_n}{n} + \frac{1}{n(n+1)}$

$b_n = \frac{a_n}{n}$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + \frac{1}{n(n+1)} = b_n + \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}) = \frac{a_1}{1} + (1 - \frac{1}{n}) = 2 + 1 - \frac{1}{n} = 3 - \frac{1}{n}$

$\frac{a_n}{n} = 3 - \frac{1}{n}$

$a_n = n(3 - \frac{1}{n}) = 3n - 1$

したがって、$a_n = 3n - 1$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = \frac{1}{n}$

(2) $a_n = 3n - 1$