与えられた2つの4x4行列の行列式をそれぞれ計算します。

1. 問題の内容

与えられた2つの4x4行列の行列式をそれぞれ計算します。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 3 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

- 第1行を基準にして余因子展開を行います。

$\det(A) = 1 \cdot C_{11} + 1 \cdot C_{12} + 3 \cdot C_{13} + 2 \cdot C_{14}$

ここで $C_{ij}$ は (i, j) 成分の余因子です。

$C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 1(9-2) - 0 + 1(5-0) = 7 + 5 = 12$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 4 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = - [2(9-2) - 0 + 1(4-6)] = - [14 - 2] = -12$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 4 & 5 & 2 \\ 2 & 0 & 3 \end{vmatrix} = 2(15-0) - 1(12-4) + 1(0-10) = 30 - 8 - 10 = 12$

$C_{14} = - \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = - [2(5-0) - 1(4-6) + 0] = - [10 + 2] = -12$

$\det(A) = 1 \cdot 12 + 1 \cdot (-12) + 3 \cdot 12 + 2 \cdot (-12) = 12 - 12 + 36 - 24 = 12$

(2) 行列 $B = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 & 2 \\ -3 & 3 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 2 & 1 \\ 4 & -2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$ の行列式を計算します。

- 第1行を基準にして余因子展開を行います。

$\det(B) = 3 \cdot C_{11} + 2 \cdot C_{12} + 1 \cdot C_{13} + 2 \cdot C_{14}$

$C_{11} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & -1 \\ 1 & 2 & 1 \\ -2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = 3(6-1) - 2(3+2) - 1(1+4) = 15 - 10 - 5 = 0$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} -3 & 2 & -1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 3 \end{vmatrix} = - [-3(6-1) - 2(6-4) - 1(2-8)] = - [-15 - 4 + 6] = - [-13] = 13$

$C_{13} = \begin{vmatrix} -3 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 4 & -2 & 3 \end{vmatrix} = -3(3+2) - 3(6-4) - 1(-4-4) = -15 - 6 + 8 = -13$

$C_{14} = - \begin{vmatrix} -3 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 4 & -2 & 1 \end{vmatrix} = - [-3(1+4) - 3(2-8) + 2(-4-4)] = - [-15 + 18 - 16] = - [-13] = 13$

$\det(B) = 3 \cdot 0 + 2 \cdot 13 + 1 \cdot (-13) + 2 \cdot 13 = 0 + 26 - 13 + 26 = 39$

3. 最終的な答え

(1) 12

(2) 39