与えられた連立方程式を解く問題です。 (1) $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 2x^2 - y^2 + 3y = 4 \end{cases}$ (2) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 5 \end{cases}$

1. 問題の内容

与えられた連立方程式を解く問題です。

(1) $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 2x^2 - y^2 + 3y = 4 \end{cases}$

(2) $\begin{cases} x + y = 2 \\ x^2 + xy + y^2 = 5 \end{cases}$

2. 解き方の手順

(1) の連立方程式を解きます。

まず、一つ目の式から $y$ を $x$ で表します。

$y = 2x - 1$

これを二つ目の式に代入します。

$2x^2 - (2x - 1)^2 + 3(2x - 1) = 4$

$2x^2 - (4x^2 - 4x + 1) + 6x - 3 = 4$

$2x^2 - 4x^2 + 4x - 1 + 6x - 3 = 4$

$-2x^2 + 10x - 4 = 4$

$-2x^2 + 10x - 8 = 0$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

したがって、$x = 1$ または $x = 4$ です。

$x = 1$ のとき、$y = 2(1) - 1 = 1$

$x = 4$ のとき、$y = 2(4) - 1 = 7$

よって、解は $(x, y) = (1, 1), (4, 7)$ です。

(2) の連立方程式を解きます。

一つ目の式から $y$ を $x$ で表します。

$y = 2 - x$

これを二つ目の式に代入します。

$x^2 + x(2 - x) + (2 - x)^2 = 5$

$x^2 + 2x - x^2 + 4 - 4x + x^2 = 5$

$x^2 - 2x + 4 = 5$

$x^2 - 2x - 1 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$

$x = 1 + \sqrt{2}$ のとき、$y = 2 - (1 + \sqrt{2}) = 1 - \sqrt{2}$

$x = 1 - \sqrt{2}$ のとき、$y = 2 - (1 - \sqrt{2}) = 1 + \sqrt{2}$

よって、解は $(x, y) = (1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}), (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x, y) = (1, 1), (4, 7)$

(2) $(x, y) = (1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}), (1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2})$