初項が5、公差が3の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問題に答えます。 (1) 95は何項目か。 (2) 初めて400を超えるのは何項目か。

1. 問題の内容

初項が5、公差が3の等差数列 $\{a_n\}$ について、以下の2つの問題に答えます。

(1) 95は何項目か。

(2) 初めて400を超えるのは何項目か。

2. 解き方の手順

(1) 等差数列の一般項の公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ を利用します。ここで、$a_n$ は第 $n$ 項、$a_1$ は初項、$d$ は公差です。$a_1 = 5$, $d = 3$ であるので、

$a_n = 5 + (n-1)3$

$a_n = 5 + 3n - 3$

$a_n = 3n + 2$

$a_n = 95$ となる $n$ を求めるので、

$95 = 3n + 2$

$3n = 93$

$n = 31$

(2) $a_n > 400$ となる $n$ を求めるので、

$3n + 2 > 400$

$3n > 398$

$n > \frac{398}{3} = 132.666...$

$n$ は整数なので、$n = 133$ が最小の整数です。

3. 最終的な答え

(1) 31項目

(2) 133項目