与えられた分数式の計算を行います。 問題は、以下の式を計算することです。 $\frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{x+1} - \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}$

1. 問題の内容

与えられた分数式の計算を行います。

問題は、以下の式を計算することです。

$\frac{x+2}{x} - \frac{x+3}{x+1} - \frac{x-5}{x-3} + \frac{x-6}{x-4}$

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を $1 + \frac{定数}{変数}$ の形に変形します。

$\frac{x+2}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2}{x} = 1 + \frac{2}{x}$

$\frac{x+3}{x+1} = \frac{x+1+2}{x+1} = 1 + \frac{2}{x+1}$

$\frac{x-5}{x-3} = \frac{x-3-2}{x-3} = 1 - \frac{2}{x-3}$

$\frac{x-6}{x-4} = \frac{x-4-2}{x-4} = 1 - \frac{2}{x-4}$

したがって、与えられた式は以下のようになります。

$(1 + \frac{2}{x}) - (1 + \frac{2}{x+1}) - (1 - \frac{2}{x-3}) + (1 - \frac{2}{x-4})$

$= 1 + \frac{2}{x} - 1 - \frac{2}{x+1} - 1 + \frac{2}{x-3} + 1 - \frac{2}{x-4}$

$= \frac{2}{x} - \frac{2}{x+1} + \frac{2}{x-3} - \frac{2}{x-4}$

$= 2(\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4})$

$= 2(\frac{(x+1) - x}{x(x+1)} + \frac{(x-4) - (x-3)}{(x-3)(x-4)})$

$= 2(\frac{1}{x(x+1)} + \frac{-1}{(x-3)(x-4)})$

$= 2(\frac{1}{x^2+x} - \frac{1}{x^2-7x+12})$

$= 2(\frac{(x^2-7x+12) - (x^2+x)}{(x^2+x)(x^2-7x+12)})$

$= 2(\frac{-8x+12}{(x^2+x)(x^2-7x+12)})$

$= \frac{2(-8x+12)}{(x^2+x)(x^2-7x+12)}$

$= \frac{-16x+24}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$

$= \frac{-16x+24}{x(x+1)(x^2-7x+12)}$

$= \frac{-16x+24}{x(x^3-7x^2+12x+x^2-7x+12)}$

$= \frac{-16x+24}{x(x^3-6x^2+5x+12)}$

$= \frac{-16x+24}{x^4-6x^3+5x^2+12x}$

3. 最終的な答え

$\frac{-16x+24}{x^4-6x^3+5x^2+12x}$

または

$\frac{-8x+12}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$

$\frac{4(-2x+3)}{x(x+1)(x-3)(x-4)}$