問題は2つあります。 (6) 2次方程式 $x^2 + 4x + 6 = 0$ を解く。 (7) 2次方程式 $4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解く。 (8) $a$ を実数とする。2次方程式 $x^2 + (a+2i)x + 2a(1+i) + 4 = 0$ が実数解を持つとき、$a$ の値を求め、その時の解を求めよ。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(6) 2次方程式 $x^2 + 4x + 6 = 0$ を解く。

(7) 2次方程式 $4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解く。

(8) $a$ を実数とする。2次方程式 $x^2 + (a+2i)x + 2a(1+i) + 4 = 0$ が実数解を持つとき、$a$ の値を求め、その時の解を求めよ。

2. 解き方の手順

(6) $x^2 + 4x + 6 = 0$ を解くために、解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 1, b = 4, c = 6$ なので、

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(6)}}{2(1)}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 24}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm \sqrt{-8}}{2}$

$x = \frac{-4 \pm 2i\sqrt{2}}{2}$

$x = -2 \pm i\sqrt{2}$

(7) $4x^2 + 2x + 1 = 0$ を解くために、解の公式を使用します。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$a = 4, b = 2, c = 1$ なので、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(1)}}{2(4)}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 16}}{8}$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{8}$

$x = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{3}}{8}$

$x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

(8) $x^2 + (a+2i)x + 2a(1+i) + 4 = 0$ が実数解を持つとき、解を $x = k$ ($k$ は実数) とおくと、

$k^2 + (a+2i)k + 2a(1+i) + 4 = 0$

$(k^2 + ak + 2a + 4) + (2k + 2a)i = 0$

複素数の相等より、

$k^2 + ak + 2a + 4 = 0$ かつ $2k + 2a = 0$

$k + a = 0$ より $a = -k$

これを $k^2 + ak + 2a + 4 = 0$ に代入すると、

$k^2 - k^2 - 2k + 4 = 0$

$-2k + 4 = 0$

$2k = 4$

$k = 2$

したがって $a = -k = -2$

このとき、元の2次方程式は、

$x^2 + (-2+2i)x + 2(-2)(1+i) + 4 = 0$

$x^2 + (-2+2i)x - 4 - 4i + 4 = 0$

$x^2 + (-2+2i)x - 4i = 0$

$x^2 -2x + 2ix - 4i = 0$

$x^2 - 2x + 2ix -4i = 0$

$x = 2$ は実数解なので、この方程式の解の一つである。

3. 最終的な答え

(6) $x = -2 \pm i\sqrt{2}$

(7) $x = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{4}$

(8) $a = -2$ のとき、解は $x=2$