3次方程式 $x^3 + x^2 - x + 2 = 0$ を解きます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + x^2 - x + 2 = 0$ を解きます。

2. 解き方の手順

3次方程式を解く一般的な方法は、因数定理を用いて解を見つけることです。

まず、$x$ に適当な整数値を代入して、方程式を満たす解を探します。

$x = -2$ を代入してみると、

$(-2)^3 + (-2)^2 - (-2) + 2 = -8 + 4 + 2 + 2 = 0$

となり、$x = -2$ が解であることがわかります。

したがって、$x + 2$ は $x^3 + x^2 - x + 2$ の因数です。

多項式を割って、残りの因数を求めます。

$\frac{x^3 + x^2 - x + 2}{x + 2} = x^2 - x + 1$

したがって、$x^3 + x^2 - x + 2 = (x + 2)(x^2 - x + 1)$ と因数分解できます。

よって、方程式 $x^3 + x^2 - x + 2 = 0$ は、$(x + 2)(x^2 - x + 1) = 0$ となります。

$x + 2 = 0$ より、$x = -2$ が得られます。

次に、$x^2 - x + 1 = 0$ を解きます。これは2次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ここで、$a = 1, b = -1, c = 1$ なので、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-3}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}$

したがって、$x = \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}$ と $x = \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$ が得られます。

3. 最終的な答え

$x = -2, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}$