問題は、「$2a+3b>0$ ならば $a>0$ または $b>0$ である」という命題が正しいかどうかを判断することです。

1. 問題の内容

問題は、「$2a+3b>0$ ならば $a>0$ または $b>0$ である」という命題が正しいかどうかを判断することです。

2. 解き方の手順

この命題が正しいかどうかは、反例を見つけることで判断できます。反例とは、命題の前提条件($2a+3b>0$)が満たされるにもかかわらず、結論($a>0$ または $b>0$)が満たされないような、$a$と$b$の値の組み合わせのことです。

$a$と$b$がともに負である場合を考えます。例えば、$a=-1$、$b=-1$ とすると、

$2a+3b = 2(-1) + 3(-1) = -2 - 3 = -5$ となり、$2a+3b > 0$を満たしません。

次に、$a$が負で、$b$が正の場合を考えます。例えば、$a=-3$、$b=2$ とすると、

$2a+3b = 2(-3) + 3(2) = -6 + 6 = 0$ となり、$2a+3b>0$を満たしません。

最後に、$a$が正で、$b$が負の場合を考えます。例えば、$a=1$、$b=-1$ とすると、

$2a+3b = 2(1) + 3(-1) = 2 - 3 = -1$ となり、$2a+3b > 0$を満たしません。

$a=-2, b=2$とすると、$2a+3b = 2(-2) + 3(2) = -4 + 6 = 2 > 0$となり、$2a+3b>0$を満たします。

しかし、$a=-2 < 0$ かつ $b=2>0$なので、$a>0$ または $b>0$ は成り立ちます。

$a=-4, b=3$とすると、$2a+3b = 2(-4) + 3(3) = -8 + 9 = 1 > 0$となり、$2a+3b>0$を満たします。

しかし、$a=-4 < 0$ かつ $b=3>0$なので、$a>0$ または $b>0$ は成り立ちます。

次に、$a=-5, b=4$とすると、$2a+3b = 2(-5) + 3(4) = -10 + 12 = 2 > 0$となり、$2a+3b>0$を満たします。

しかし、$a=-5 < 0$ かつ $b=4>0$なので、$a>0$ または $b>0$ は成り立ちます。

反例が見つからないので、背理法を使って証明してみましょう。

$2a+3b > 0$ であり、$a \leq 0$ かつ $b \leq 0$ であると仮定します。

$a \leq 0$ より $2a \leq 0$

$b \leq 0$ より $3b \leq 0$

したがって、$2a+3b \leq 0$ となります。これは、$2a+3b > 0$ という条件に矛盾します。

したがって、$2a+3b>0$ ならば $a>0$ または $b>0$ であるは正しいです。

3. 最終的な答え

正しい