次の条件を満たす2次関数を求めます。 (1) 頂点が点 $(1, -3)$ で、点 $(3, 5)$ を通る。 (2) 軸が直線 $x = -1$ で、2点 $(0, 5)$, $(2, -11)$ を通る。

はい、承知いたしました。与えられた問題を解きます。

1. 問題の内容

次の条件を満たす2次関数を求めます。

(1) 頂点が点 $(1, -3)$ で、点 $(3, 5)$ を通る。

(2) 軸が直線 $x = -1$ で、2点 $(0, 5)$, $(2, -11)$ を通る。

2. 解き方の手順

(1)

頂点が $(1, -3)$ であることから、求める2次関数は

$y = a(x - 1)^2 - 3$

と表せる。

このグラフが点 $(3, 5)$ を通るから、

$5 = a(3 - 1)^2 - 3$

$5 = 4a - 3$

$4a = 8$

$a = 2$

したがって、求める2次関数は

$y = 2(x - 1)^2 - 3 = 2(x^2 - 2x + 1) - 3 = 2x^2 - 4x + 2 - 3 = 2x^2 - 4x - 1$

(2)

軸が $x = -1$ であることから、求める2次関数は

$y = a(x + 1)^2 + q$

と表せる。

このグラフが点 $(0, 5)$ を通るから、

$5 = a(0 + 1)^2 + q$

$a + q = 5$ ...(1)

また、点 $(2, -11)$ を通るから、

$-11 = a(2 + 1)^2 + q$

$9a + q = -11$ ...(2)

(2) - (1) より、

$8a = -16$

$a = -2$

(1)に代入して、

$-2 + q = 5$

$q = 7$

したがって、求める2次関数は

$y = -2(x + 1)^2 + 7 = -2(x^2 + 2x + 1) + 7 = -2x^2 - 4x - 2 + 7 = -2x^2 - 4x + 5$

3. 最終的な答え

(1) $y = 2x^2 - 4x - 1$

(2) $y = -2x^2 - 4x + 5$