実数 $x$ が $x + x^{-1} = 47$ を満たすとき、$x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}}$ および $x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}}$ の値を求める。

1. 問題の内容

実数 $x$ が $x + x^{-1} = 47$ を満たすとき、$x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}}$ および $x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x + \frac{1}{x} = 47$ である。

$y = x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}}$ とおく。

$y^2 = (x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{2}} + 2 + x^{-\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 2$.

よって、$x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = y^2 - 2$ である。

$(x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})^2 = (y^2 - 2)^2 = x + 2 + \frac{1}{x} = x + \frac{1}{x} + 2 = 47 + 2 = 49$.

$y^2 - 2 = \pm \sqrt{49} = \pm 7$

$y^2 = 2 \pm 7$.

$x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}} > 0$ より、$y>0$ なので、

$y^2 = 2 + 7 = 9$

$y = \sqrt{9} = 3$

したがって、$x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}} = 3$.

次に、$x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}}$ の値を求める。

$x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}} = (x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}})(x^{\frac{1}{2}} - 1 + x^{-\frac{1}{2}})$

$= (x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}})((x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}})^2 - 3)$

$= 3 \cdot (3^2 - 3) = 3 \cdot (9-3) = 3 \cdot 6 = 18$.

よって、$x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}} = 18$

3. 最終的な答え

$x^{\frac{1}{4}} + x^{-\frac{1}{4}} = 3$

$x^{\frac{3}{4}} + x^{-\frac{3}{4}} = 18$