$xy$平面において、連立不等式 $\begin{cases} |x-y| \le 2 \\ (x-2)(x+3y-2) \le 0 \end{cases}$ が表す領域を$D$とする。 (1) 領域$D$を図示せよ。 (2) $(x, y)$が領域$D$内を動くとき、$r = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$の最小値を求めよ。

はい、承知しました。問題を解いていきます。

1. 問題の内容

$xy$平面において、連立不等式

$\begin{cases} |x-y| \le 2 \\ (x-2)(x+3y-2) \le 0 \end{cases}$

が表す領域を$D$とする。

(1) 領域$D$を図示せよ。

(2) $(x, y)$が領域$D$内を動くとき、$r = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 領域$D$の図示

まず、$|x-y| \le 2$を変形する。これは$-2 \le x-y \le 2$と同値であり、

$\begin{cases} x - y \le 2 \\ x - y \ge -2 \end{cases}$

$\begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 2 \end{cases}$

次に、$(x-2)(x+3y-2) \le 0$について場合分けをする。

場合1：$x-2 \ge 0$ かつ $x+3y-2 \le 0$

$\begin{cases} x \ge 2 \\ y \le -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases}$

場合2：$x-2 \le 0$ かつ $x+3y-2 \ge 0$

$\begin{cases} x \le 2 \\ y \ge -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases}$

したがって、領域$D$は以下の連立不等式を満たす領域である。

$\begin{cases} y \ge x - 2 \\ y \le x + 2 \\ \begin{cases} x \ge 2 \\ y \le -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases} \text{または} \begin{cases} x \le 2 \\ y \ge -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \end{cases} \end{cases}$

領域を図示すると、以下のようになる。

$y = x-2$と$y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$の交点は、$x-2 = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$より、$\frac{4}{3}x = \frac{8}{3}$なので、$x = 2$となる。このとき、$y = 0$。よって、交点は$(2,0)$。

$y = x+2$と$y = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$の交点は、$x+2 = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$より、$\frac{4}{3}x = -\frac{4}{3}$なので、$x = -1$となる。このとき、$y = 1$。よって、交点は$(-1,1)$。

(2) $r = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$の最小値

$r$は点$(x,y)$と点$(0,-1)$との距離を表す。

領域$D$内の点$(x,y)$と点$(0,-1)$との距離が最小となるのは、$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$と$(0,-1)$を通る直線が垂直に交わる場合である。

$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$に垂直な直線の傾きは$3$であるので、その直線は$y+1=3x$、つまり$y=3x-1$と表せる。

$y=3x-1$と$y=-\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$の交点は、$3x-1 = -\frac{1}{3}x+\frac{2}{3}$より、$\frac{10}{3}x=\frac{5}{3}$なので、$x=\frac{1}{2}$。このとき、$y=\frac{1}{2}$。交点は$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$となる。

この点が領域$D$内にあるかどうか確認する。

$y \ge x-2 \Rightarrow \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2}-2=-\frac{3}{2}$なので、成立する。

$y \le x+2 \Rightarrow \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}+2 = \frac{5}{2}$なので、成立する。

また、$x=\frac{1}{2} \le 2$かつ$y = \frac{1}{2} \ge -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} = -\frac{1}{6}+\frac{4}{6} = \frac{1}{2}$なので、成立する。

よって、点$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$は領域$D$内にある。

$r = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}+1)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{10}{4}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 領域$D$は上記参照。

(2) $r$の最小値は$\frac{\sqrt{10}}{2}$