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与えられた式を計算して簡略化します。式は次の通りです。 $\frac{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}$

代数学式の計算有理化根号
2025/6/30

1. 問題の内容

与えられた式を計算して簡略化します。式は次の通りです。
35−535+3+35+435−3\frac{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{3\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}

2. 解き方の手順

まず、それぞれの分数を有理化します。
1つ目の分数：35−535+3\frac{3\sqrt{5} - 5\sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}
分母と分子に(5−3)(\sqrt{5} - \sqrt{3})を掛けます。
(35−53)(5−3)(5+3)(5−3)\frac{(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3})}
分子を展開します。
(35−53)(5−3)=355−353−535+533=3(5)−315−515+5(3)=15−815+15=30−815(3\sqrt{5} - 5\sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = 3\sqrt{5}\sqrt{5} - 3\sqrt{5}\sqrt{3} - 5\sqrt{3}\sqrt{5} + 5\sqrt{3}\sqrt{3} = 3(5) - 3\sqrt{15} - 5\sqrt{15} + 5(3) = 15 - 8\sqrt{15} + 15 = 30 - 8\sqrt{15}
分母を展開します。
(5+3)(5−3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} - \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
したがって、1つ目の分数は30−8152=15−415\frac{30 - 8\sqrt{15}}{2} = 15 - 4\sqrt{15}
2つ目の分数：35+435−3\frac{3\sqrt{5} + 4\sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}}
分母と分子に(5+3)(\sqrt{5} + \sqrt{3})を掛けます。
(35+43)(5+3)(5−3)(5+3)\frac{(3\sqrt{5} + 4\sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})}
分子を展開します。
(35+43)(5+3)=355+353+435+433=3(5)+315+415+4(3)=15+715+12=27+715(3\sqrt{5} + 4\sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = 3\sqrt{5}\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\sqrt{3} + 4\sqrt{3}\sqrt{5} + 4\sqrt{3}\sqrt{3} = 3(5) + 3\sqrt{15} + 4\sqrt{15} + 4(3) = 15 + 7\sqrt{15} + 12 = 27 + 7\sqrt{15}
分母を展開します。
(5−3)(5+3)=(5)2−(3)2=5−3=2(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2
したがって、2つ目の分数は27+7152\frac{27 + 7\sqrt{15}}{2}
次に、これら2つの分数を足し合わせます。
15−415+27+7152=30−8152+27+7152=30−815+27+7152=57−15215 - 4\sqrt{15} + \frac{27 + 7\sqrt{15}}{2} = \frac{30 - 8\sqrt{15}}{2} + \frac{27 + 7\sqrt{15}}{2} = \frac{30 - 8\sqrt{15} + 27 + 7\sqrt{15}}{2} = \frac{57 - \sqrt{15}}{2}

3. 最終的な答え

57−152\frac{57 - \sqrt{15}}{2}

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